1、下面是对π(x)更好的估计：, 其中. 而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。

2、 下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x)： x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)（如图所示）素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：它也给出从整数中抽到素数的概率。

(相关资料图)

3、从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。

4、 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。

5、1896年法国数学家哈达玛(JacquesHadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。

6、证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。

7、 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。

8、一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。

9、1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，下式与黎曼猜想等价:至于大O项的常数则还未知道。

10、 在1948年, 塞尔伯格和保罗·埃尔德什首次给出素数定理的初等证明.。

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